Phương pháp chứng minh tập hợp L là không gian con của không gian Rn

Chào các bạn. Bài viết này mình sẽ hướng dẫn các bạn cách để chứng minh một tập hợp L là không gian con của không gian Rn và tìm 1 cơ sở của không gian con đó.
Trong các đề thi thường có 2 dạng bài tập về chứng minh không gian con. Nắm được 2 dạng bài tập này đi thi gặp bài tập về không gian con thì không phải lo nữa.

Cùng tìm hiểu thôi nào

Khi nào tập hợp L là không gian con của không gian Rn?

Cho tập hợp các vecto n chiều L # rỗng. L là không gian con của không gian Rn nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

Điều kiện 1:

L kín với phép cộng: Nghĩa là với mọi vecto X và vecto Y bất kỳ thuộc L mà X+Y cũng thuộc L thì nó kín với phép cộng (Lát làm vd sẽ rõ hơn)

Điều kiện 2:

L kín với phép nhân: Nghĩa là với mọi vecto X thuộc L và 1 số thực a bất kì mà a.X cũng thuộc L thì nó kín với phép nhân.

Nếu 1 trong 2 điều kiện trên không thỏa mãn thì L không phải là không gian con  của không gian Rn.

Cùng làm một vài vd các bạn sẽ hiểu rõ hơn. 

Như đã nói ở trên. Có 2 dạng bài tập về phần này. Mình đi vào từng dạng

Dạng 1 về không gian con

Vd: Cho L ={ X=(x1,x2,x3) | x2=3x1 }. Kiểm tra xem L có phải là không gian con của không gian R3 hay không?
Giải: 

Có X=(0,0,0) thuộc L nên L khác rỗng

- Kiểm tra L có kín với phép cộng hay không?

Lấy X1=(x11,x21,x31) thuộc L => x21=3x11  (phương trình 1)           

Lấy X2=(x12,x22,x32) thuộc L => x22=3x12 (phương trình 2)

Từ phương trình 1 và 2 => x21+x22=3(x11+x12) 

Khi đó X1+X2= (x11+x12, x21+x22 ,x31+x32)

=>X1+X2 cũng thuộc L do x21+x22=3(x11+x12). 

(Giải thích rõ một chút: L là tập hợp mọi vecto 3 chiều mà thành phần thứ 2 bằng 3 lần thành phần thứ nhất x2=3x1. Nên X1+X2 có thành phần thứ 2 là x21+x22= 3 lần thành phần thứ nhất x11+x12). 

=> L kín với phép cộng (1)

- Kiểm tra L có kín với phép nhân hay không

với mọi số thực a  ta có a.X1=(ax11,ax12,ax13)

=> aX1 cũng thuộc L do ax12=3ax11

=> L kín với phép nhân. (2)

Từ (1) và (2) => L là không gian con của không gian R3

Dạng 2 về không gian con

Vd: Cho 3 vecto X1=(1,2,0,3); X2=(2,4,1,5); X3=(5,2,1,4)

Gọi L là tổ hợp tuyến của 3 vecto X1,X2,X3. Chứng minh L là không gian con của không gian R4
Giải:
Viết lại tập hợp L = {X=k1X1+k2X2+k3X3} với k1,k2,k3 thuộc R
- Kiểm tra L có kín với phép cộng hay không?
Lấy X1=k11.X1+k21.X2+k31.X3 thuộc L với k11,k21,k32 thuộc R
và X2=k12X1+k22X2+k32X3 thuộc L với k12,k22,k32 thuộc R
=>X1+X2 = (k11+k12)X1 + (k21+k22)X2 + (k31+k32)X3
=>X1+X2 cũng thuộc L do nó cũng là 1 tổ hợp tuyến tính của {X1,X2,X3}
=> L kín với phép cộng (1)
- Kiểm tra xem L có kín với phép nhân hay không?
Với mọi số thực a ta có a.X1=a.k11X1+ak21X2+ak31X3
=>aX1 cũng thuộc L do nó cũng là 1 tổ hợp tuyến tính của {X1,X2,X3}
=>L kín với phép nhân (2)
Từ (1)  và (2) => L là không gian con của không gian R4